THEORIE VAN GROEPEN

Om het hierboven geschetste proces beter te begrijpen, laten we de vrijheid nemen om in het laboratorium van een moderne wiskundige te kijken en een van zijn belangrijkste instrumenten nader te bekijken: groepentheorie (zie ook ABSTRACTE ALGEBRA). Een groep is een set (of ‘set’) objecten G, waarop een bewerking is gedefinieerd die twee willekeurige objecten of elementen a, b van G associeert, genomen in de opgegeven volgorde (eerste element a, tweede element b), derde element c van G volgens een strikt gedefinieerde regel. Kortheidshalve zullen we dit element a * b aanduiden; een asterisk (*) geeft een compositiebewerking van twee elementen aan. Deze bewerking, die we groepsvermenigvuldiging zullen noemen, moet aan de volgende voorwaarden voldoen:

(1) voor drie willekeurige elementen a, b, c uit G, is aan de associativiteitseigenschap voldaan: a * (b * c) = (a * b) * c;

(2) er is een element e in G zodat voor elk element a uit G de relatie e * a = a * e = a geldt; dit element e wordt een enkelvoudig of neutraal element van de groep genoemd;

(3) voor elk element a van G is er een element aў, dat invers of symmetrisch ten opzichte van het element a wordt genoemd, zodat a * aў = aў * a = e.

Als deze eigenschappen als axioma’s worden beschouwd, vormen de logische consequenties ervan (onafhankelijk van andere axioma’s of stellingen) samen wat gewoonlijk de theorie van groepen wordt genoemd. Het bleek erg handig om deze consequenties voor eens en voor altijd af te leiden, aangezien de groepen veel gebruikt worden in alle takken van de wiskunde. Uit duizenden mogelijke voorbeelden van groepen zullen we slechts enkele van de eenvoudigste selecteren.

(a) Breuken p / q, waarbij p en q willekeurige gehele getallen zijn і1 (voor q = 1 krijgen we gewone gehele getallen). De breuken p / q vormen een groep onder groepsvermenigvuldiging (p / q) * (r / s) = (pr) / (qs). Eigenschappen (1), (2), (3) volgen uit de rekenkundige axioma’s. Inderdaad, [(p / q) * (r / s)] * (t / u) = (prt) / (qsu) = (p / q) * [(r / s) * (t / u)]. De eenheid is het getal 1 = 1/1, aangezien (1/1) * (p / q) = (1Pp) / (1Pq) = p / q. Ten slotte is de inverse van de breuk p / q de breuk q / p, aangezien (p / q) * (q / p) = (pq) / (pq) = 1.

(b) Beschouw als G een reeks van vier gehele getallen 0, 1, 2, 3, en als a * b – de rest van a + b door 4 te delen. De resultaten van de aldus geïntroduceerde bewerking zijn weergegeven in de tabel. 1 (element a * b bevindt zich op het snijpunt van rij a en kolom b). Het is gemakkelijk om te controleren of aan de eigenschappen (1) – (3) is voldaan, en het getal 0 is het eenheidselement.

Tafel 1.

(c) Laten we als G een reeks getallen 1, 2, 3, 4 kiezen en als a * b – de rest van het delen van ab (het gebruikelijke product) door 5. Als resultaat krijgen we een tabel. 2. Het is gemakkelijk om te controleren of aan de eigenschappen (1) – (3) is voldaan, en dat 1 het eenheidselement is.

Tafel 2.

(d) Vier objecten, zoals de vier nummers 1, 2, 3, 4, kunnen op 24 manieren in een rij worden gerangschikt. Elke locatie kan worden gevisualiseerd als een transformatie die de “natuurlijke” locatie vertaalt naar een bepaalde locatie; de locatie 4, 1, 2, 3 is bijvoorbeeld het resultaat van de transformatie

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

die in een handiger vorm kan worden geschreven

Voor twee van dergelijke transformaties S, T, definiëren we S * T als de transformatie die het resultaat zal zijn van de opeenvolgende uitvoering van T en vervolgens S. Bijvoorbeeld, if, then. Met deze definitie vormen alle 24 mogelijke transformaties een groep; zijn eenheidselement is, en het element omgekeerd aan S wordt verkregen door de pijlen in de definitie van S te vervangen door tegenovergestelde; bijvoorbeeld als, dan.

Het is gemakkelijk in te zien dat in de eerste drie voorbeelden a * b = b * a; in dergelijke gevallen wordt gezegd dat de groep of groepsvermenigvuldiging commutatief is. Aan de andere kant, in het laatste voorbeeld, en daarom is T * S anders dan S * T.

De groep uit voorbeeld (d) is een speciaal geval van de zogenaamde. symmetrische groep, waarvan de reikwijdte onder meer methoden omvat voor het oplossen van algebraïsche vergelijkingen en het gedrag van lijnen in de spectra van atomen. De groepen uit voorbeelden (b) en (c) spelen een belangrijke rol in de getaltheorie; in voorbeeld (b) kan het getal 4 worden vervangen door elk geheel getal n, en de getallen van 0 tot 3 – door getallen van 0 tot n – 1 (voor n = 12 krijgen we een systeem van getallen die op de wijzerplaten staan, zoals we hierboven vermeldden) ; in voorbeeld (c) kan het getal 5 worden vervangen door een priemgetal p, en de getallen van 1 tot 4 door getallen van 1 tot p – 1.

rubiks kubus kopen